尼古拉·布尔巴基

布尔巴基在集合论的基础上用公理方法重新构造整个现代数学。布尔巴基认为：数学，至少纯粹数学，是研究抽象结构的理论。结构，就是以初始概念和公理出发的演绎系统。有三种基本的抽象结构：代数结构，序结构，拓扑结构。他们把全部数学看作按不同结构进行演绎的体系。布尔巴基在《数学原本》(éléments de mathématique)的题名下分卷出版了如下专著：

第1卷集合论

第2卷代数

第3卷拓扑

第4卷单实变函数

第5卷拓扑向量空间等

第6卷积分

第7卷交换代数

第8卷李群等

最后的第9卷谱理论执笔始于1983年，出版工程至此告终。只是在20世纪末，增补了交换代数的簇理论。

《数学原本》有七千多页，是有史以来最大的数学巨著。彻底追求严格性和一般性的叙述方法被称为“布尔巴基风格”。

布尔巴基对严格性的强调在当时产生了很大的影响。这与当时儒热-亨利·彭加莱（也译作庞加莱）所强调的数学要依靠自由想象的直觉的说法分庭抗礼。布尔巴基的影响力随时间而减弱，一个原因是布尔巴基的抽象并不显得比发明者原初的想法更为有用，另一个原因是没有包含像范畴论等重要的现代数学理论。尽管范畴论是由布尔巴基的成员艾伦堡所创立，格罗登迪克所推广的，但是如果要容纳范畴论，就不得不对已经出版的著作进行根本性的改写。

尽管布尔巴基的一部分著作在相应的领域成了标准的参考书，但是那种近于严峻的表达方式使其难以成为教科书。布尔巴基书籍的鼎盛时期是在1950和1960年之间，那时很少有适合能用于研究生水平的关于纯数学的教科书。

布尔巴基引入的记号有：代表空集，黑板粗体字母表示数集（例如：表示自然数集，表示有理数集，表示实数集，表示整数集），还发明了术语“单射的”(injectif)、“满射的"(surjectif)和“双射的”(bijectif)。

布尔巴基讲座在战后立即于巴黎开设，这个讲座接连不断地公开发表了各种综述性论文，这些论文采用一种固定格式，用谨慎的风格写成。

很少有人提及布尔巴基学派产生的历史背景。从巴黎这个艺术气息浓厚的布尔巴基的诞生地来看不太像是纯粹偶然的。二战前的巴黎是世界艺术的交流中心，世界上许多著名画家来到巴黎，同时形成了许多新的艺术思潮。其中特别值得一提的是抽象主义流派的代表，俄罗斯画家康定斯基，在他所著的《点、线、面》和《论艺术的精神》中对“什么是绘画本身的要素”进行了考察和阐述。布尔巴基对数学结构的分类看来与抽象主义有些“心有灵犀一点通”的感觉。但这丝毫不影响对布尔巴基的创造性的评价。康定斯基的抽象画是前卫艺术鼎盛期的产物，抽象主义有它自己的历史酝酿，当然还要有艺术家锲而不舍的追求，并不是一朝一夕就能完成的。布尔巴基对数学所作的抽象要比抽象主义更彻底。了解这些背景有利于人们对布尔巴基学派作出恰如其分的评价。

布尔巴基的影响不仅仅局限于数学领域，他对后来的结构主义哲学所产生的影响也值得一提。布尔巴基在人类思想史的潮流中也有一席之地。

布尔巴基的早期成员时多时少。创始者五人全是巴黎高等师范学校出身，他们是安德烈·韦伊，亨利·嘉当，克劳德·谢伐利，让·迪奥多内和让·戴尔萨特。当时有一个初级会议，会议记录在布尔巴基档案中有存档：「欲知初级会议的详情，请与“数学咨询组”的利丽安·布利尤接洽」；成立时的其他四名成员是让·库朗，夏勒·埃瑞斯曼，瑞内·德·波塞尔和佐勒姆·门德勃罗，而让·勒瑞和保罗·杜布莱依在布尔巴基宣布正式成立之前退出。其他较后参加的有名成员有劳朗·舒瓦兹，让-皮埃·塞尔，萨缪尔·艾伦堡，亚历山大·格罗登迪克，塞尔格·朗格和罗杰·戈德门。

布尔巴基的最初目标是编撰一本改良的微积分教科书，不久他们就意识到有必要对整个数学进行一种综合性的统一处理。当时，布尔巴基的成员身份是非公开的，团体内情是相当保密的，他们甚至故意提供假消息为乐。在定期会议上，全体成员对提出的每一部书稿进行逐字逐句的严格讨论。布尔巴基有一条规定，成员到50岁必须退休。

“布尔巴基”取名于在普法战争中法国败将的名字；至于成为学派的名字是出于一堂数学课的恶作剧的传闻，也可能与一座雕像有关。这一名称还与希腊数学有关，因为名为布尔巴基的人具有希腊血统。从字面上也可以解释这一名字暗示了欧几里德传统被移植到1930年代的法国，并对此寄予质变的期望。

布尔巴基的区别有所争议。原因是布尔巴基是一种姓氏的称呼，所以有尼古拉·布尔巴基与金凯旋·布尔巴基，这都是来自不同的领域为人类服务和做出贡献。虽然狩猎不同的领域，但是他们的宗旨却是相同的。

尼古拉·布尔巴基直接在数学领域，而金凯旋·布尔巴基在诗词即文学领域。各自给人类发展做出不可磨灭的贡献，以及崇高的精神财富。

十分明显，布尔巴基的观点虽然是“百科全书”式的，但却从来没有想要保持中立。恰好相反，他们把热情倾注于整体一致性的展示，例如对希尔伯特的形式主义和公理主义的遗产的处理上。但对现存理论总要施行一种“接纳变换”，例如把张量微积分改名成多重线性代数，创建独立于消元理论的交换代数，这在其前身理想理论时已成为主要倾向。希尔伯特在1890年代时已经显示对非构造性方法的钟爱，布尔巴基的行动使非构造性方法变得更加具体。

在下面例举的领域里布尔巴基有显著的偏向：

计算性内容不上议题，几乎完全被省略

解题被认为次于公理

分析论被“软”处理，没有“硬”计算

测度论掩盖了Radon测度

组合学结构被视为非结构性的

逻辑只需最低限度(佐恩引理就已足够)

应用全无提起

并且（“这是很自然的” - cela va sans dire))没有图示。

数学家总是喜欢轶事传奇。布尔巴基的数学史并不缺少学术性，而是缺少“英雄史观”，历史是由那些经过奋斗而终于得到清晰公理的获胜者写成的。

最终布尔巴基宣言还是产生了影响，特别是在纯数学的研究生教育上。详见本百科全书的相关部分。

新数学对初等数学教学几乎没有影响。比如说文氏图的使用，一直可以追溯到19世纪教学法。对微积分和离散数学的分界之争至今热狂不减当年。

布尔巴基在国际数学界的带头作用可能已被1960年代的波恩工作会议计划所取代。