卢津

　　 卢津(1883～1950) Luzin，Nikolai Nikolaevich

　　苏联数学家。1883年12月9日生于托木斯克，1950年2月2日卒于莫斯科。1906年毕业于莫斯科大学，1905年和1910年曾两次到法国留学，接触到当时法国的一批著名学者，对他以后的科学研究产生了重要影响。1916年获纯粹数学博士学位。1917年成为莫斯科大学教授。1927年当选为苏联科学院通讯院士，1929年为院士。1928年当选为第八届国际数学家大会的副主席。卢津是莫斯科数学学派的中心人物。他对函数可测性与测度理论、描述性函数论、射影集均有研究。卢津在解析函数的边界性质以及由函数的边界值唯一确定函数本身等问题上也曾作出过重要贡献。他在微分几何、微分方程等领域都有建树。关于曲面的变形问题，在某种意义上是他获得了最终的结果。他还建立了解析集合论中一系列重要定理。

　　傅里叶级数理论中的一个著名问题。1913年俄国数学家Η.Η.卢津在他发表的一篇论文中，提出了如下的猜想:区间【0,2π】上平方可积函数的傅里叶级数,在【0,2π】上几乎处处收敛。这个猜想经过半个多世纪许多数学家的努力，终于被瑞典数学家L.卡尔森于用非常深刻的数学方法所证实。

　　傅里叶级数理论是19世纪初，从关于热传导的研究中产生的。中心问题是:怎样的函数可以用它的傅里叶级数来表示?随着勒贝格测度、勒贝格积分理论的创立,傅里叶级数的几乎处处收敛问题逐渐为人们所重视。1906年，P.J.L.法图首先证明。

　　卢津猜想发表之后，引起了世界上许多第一流数学家的关注。在长长的53年中,这个猜想既不能被证实,也无法被否定。但是围绕着它，出现了从正反两方面研究的一些重要成果。1923年，Α.Η.柯尔莫哥洛夫构造了一个可积函数，它的傅里叶级数几乎处处发散。1926年他又发现了一个傅里叶级数处处发散的可积函数。但这两个可积函数都不是平方可积的。因此卢津猜想不能被否定。从肯定方面来接近卢津猜想的,则有1925年柯尔莫哥洛夫、Γ.A.谢利维奥尔斯托夫和A.普莱斯纳的工作。他们把W( n)进一步降低到log n，但这离卢津猜想的证实仍有很大距离。以后的40多年没有什么显著的进展。基于上述柯尔莫哥洛夫的两个反例，在相当一部分有影响的数学家中，逐渐产生了否定卢津猜想的倾向。例如1946年,在为纪念美国普林斯顿大学建校200周年举行的数学问题讨论会上，A.赞格蒙就认为，在三角级数理论方面提出猜想，根据历史的经验，往往是要失败的。他指出，甚至连续函数的傅里叶级数是否必有收敛点都还不清楚。他是从否定卢津猜想的角度来考虑的。其后，卢津猜想一般就改变成两个带有倾向性的正反两方面的问题：①是否存在连续函数，它的傅里叶级数在某个正测度的点集上发散？②是否所有连续函数的傅里叶级数都几乎处处收敛？把问题集中到连续函数，这就反映了一定程度的倾向性,即认为原来的卢津猜想未必成立。可是改变后的卢津问题的证明仍没有多大进展。